On parle souvent du génie des abeilles dés que l'on parle de leur façon de construire les alvéoles qui constituent les rayons de cire. Les fameuses cellules en nid d’abeilles. Mais les abeilles ont-elles le choix de construire autrement ?...
Cylindre
La biologie étant une forte contrainte on pourrait s’attendre à des cellules cylindriques car c'est la forme la mieux adaptée au comportement des larves et à la morphologie des nymphes. C'est aussi une forme facile à nettoyer car sans angles. Malheureusement si on construit des alvéoles cylindriques il y aura des interstices vides entre les cylindres. Donc perte de place. Il faut cependant noter qu'après plusieurs pontes dans une cellule son espace intérieur se rapproche du cylindre car chaque nymphe y dépose sa soie et que les ouvrières nettoyeuses ne la retire jamais.
Polygone
Si on veut combler ces intervalles il faut une figure à facettes. Comme le triangle, le carré et autres polygones tels que le pentagone, l’hexagone ou l’octogone.
La principale caractéristique d'un polygone est son nombre (n) de cotés.
n=3 pour le triangle, n=4 pour le carré n=5 pour le pentagone etc.
Connaissant le nombre de cotés on en déduit l'angle (A) que forme deux cotés adjacents :
A = 180 – (360/n)
Si on veut paver une surface avec un polygone sans laisser de vide il faut que l’angle A soit un diviseur entier de 360. C’est-à-dire que 360 / A = k avec k entier (sans chiffre après la virgule). En effet, si k est entier cela signifie que l’on peut faire se rencontrer au tour d’un même point les sommets de k polygones.
On montre facilement que k = 360/A = 2n/(n-2)
| Polygones | n nbr de cotés |
A 180 - 360/n |
k 2n/(n-2) |
Pavage possible ? |
Triangles |
3 | 60 | 6 | oui |
Carré |
4 | 90 | 4 | oui |
Pentagone |
5 | 108 | 3.333 | non |
Hexagone |
6 | 120 | 3 | oui |
Heptagone |
7 | 128.571 | 2.8 | non |
Octogone |
8 | 135 | 2.666 | non |
Et là, surprise ! Il n’y a que 3 polygones utilisable pour effectuer un pavage sans perte de place (k entier) : Le triangle (n=3, k=6) , le carre (n=4, k=4) et l'hexagone (n=6, k=3). Pour tous les autres polygones k n'est pas un nombre entier et donc le pavage laisse des interstices ou provoque des superpositions. Pour info, le pavage avec le pentagone ou l'octogone laisse des zones vides (en noir)
Les curieux ont constaté que quand le nombre (n) de cotés augmente (k) diminue, et ils se disent
que (k) finira bien par atteindre le nombre entier 2. Ceci revient à résoudre la petite équation :
k = 2n / (n-2) = 2 ==> n = n – 2 ==> pas de solutions.
Le matheux noterons qu'une solution théorique est quand (n) vaut l'infini. Et une infinité de cotés
c'est un cercle. Mais cela implique un angle entre deux cotés de 180° ce qui signifie des cotés
alignés, dont un cercle de rayon infini. Ce n'est pas pratique à construire !
Donc nos abeilles n'ont que 3 possibilités pour paver de manière simple et optimale leurs rayons :
le triangle, le carré et l'hexagone.
Hexagone
Si on construit une cellule d'une surface (S), de périmètre (P) et de hauteur (H) on peut en déduire le volume (V) et la surface de la paroi (SP).
V = S * H
SP = P * H
Bien sur, tout bon architecte cherchera à maximiser le volume et à minimiser la surface de la paroi à construire. Autrement dit il faut maximiser le rapport V/SP.
V/SP = (S * H) / (P * H) = S / P
On voit que la hauteur (H) n'a pas d'influence sur le rapport. On ne gagne rien à faire des cellules basses ou hautes. Ce qui compte c'est de maximiser le rapport S/P (Surface / Périmètre)
On montre facilement que pour tout polygone il existe la relation suivante entre son périmètre (P) et sa surface S :
P = 2 * S / a ==> S/P = a/2
Où (a) est l'apothème du polygone.
L'apothème est la distance entre le centre du polygone et le milieu d'un coté. C'est-à-dire la
distance la plus courte entre le centre et le bord (c'est aussi le rayon du cercle inscrit).
Sans se lancer dans de la trigonométrie on constate intuitivement que l'apothème augmente avec
le nombre de coté (n). Plus (n)’est grand plus l'apothème du polygone se rapproche du rayon du cercle
circonscrit.
Donc, plus il y a de cotés dans un polygone, plus grand est le rapport S/P. Dans le cas de nos
abeilles cela signifie qu'entre le triangle le carré et l'hexagone, c'est ce dernier qui leur donnera
le meilleur rapport Volume / Surface de construction : Le volume de stokage maximum pour
une surface de construction minimum.
En choisissant l'hexagone, au détriment du triangle et du carré, on choisit aussi la forme qui s e rapproche le plus du cercle et donc la mieux adapté au comportement des larves puis des nymphes.
Mais ce choix (si choix il y a) est-il une preuve d'intelligence ? N'est-il pas imposé par des contraintes extérieures ? A suivre...
